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階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう.




KYB(カヤバ) Lowfer Sports 1台分 カローラ 245/35R19 フィールダー(NZE161G) 1.5G、1.5X WST5481R/L-WSF1149 / 8.0-18 ローファースポーツ

与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります.

数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3,\cdots)$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の階差数列といいます.



つまり,数列が $3,10,21,36,55 【送料無料】 185/65R14 14インチ BRANDLE-LINE ブランドルライン カルッシャー ブラック 5.5J 5.50-14 DUNLOP ダンロップ ルマン 4(LM704) サマータイヤ ホイール4本セット,78 エムズスピード JJ break through ホイール 22インチ BKPO 22×10.0J 5穴 P.C.D.120 HI DISC,\cdots$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $7,11,15,19,23,\cdots$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです.

まとめると,階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかるということです.

階差数列と一般項

実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう.

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $b_1=a_2-a_1$ $b_2=a_3-a_2$ $b_3=a_4-a_3$ $\vdots$ $b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$ となります.したがって,次のことが成り立ちます.

階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき , $\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ が成り立つ.

これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です.


ローファースポーツ WST5481R/L-WSF1149 / フィールダー(NZE161G) Lowfer Sports 1台分 / カローラ KYB(カヤバ) 1.5G、1.5X カローラ

・$b_n$ の和は >

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階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう.




階差数列とは

与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります.

数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3,\cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の階差数列といいます.



つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです.

まとめると,階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかるということです.

階差数列と一般項

実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう.

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます.

階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ.

これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です.


注意点

・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです.

・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.

階差数列を使う例題

実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです.

階差数列が等差数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です.

階差数列が等比数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.

$2$ 回階差をとるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$2,12,36,80,130,252,392,\cdots$$

→solution

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします.その階差数列 $\{b_n\}$ は $$10,24,44,70,102,140,\cdots$$ ですが,これではまだ規則性が見えてきません.そこで,もう一度階差をとってみます.$\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ は, $$14,20,26,32,38,\cdots$$ です.これは,初項 $14$,公差 $6$ の等差数列です.したがって,$\{c_n\}$ の一般項は $c_n=6n+8$ です.ゆえに,$\{b_n\}$ の一般項は $n \ge 2$ のとき, $$b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} c_n=10+\sum_{k=1}^{n-1} (6k+8)=10+3n(n-1)+8(n-1)=3n^2+5n+2$$ です.$b_1=10$ なのでこれは $n=1$ のときも成立します.したがって,$b_n=3n^2+5n+2$ です.ゆえに,$\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} (3n^2+5n+2)=2+\frac{1}{2}n(n-1)(2n-1)+\frac{5}{2}n(n-1)+2(n-1)$$ $$=n^2(n+1)$$ です.$a_1=2$ なので,これは $n=1$ のときも成立します.よって,求める数列の一般項は, $$n^2(n+1)$$ となります.




$ から $n$ までではなく,>
ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法

階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう.




階差数列とは

与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります.

数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3,\cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の階差数列といいます.



つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです.

まとめると,階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかるということです.

階差数列と一般項

実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう.

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます.

階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ.

これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です.


注意点

・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです.

・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.

階差数列を使う例題

実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです.

階差数列が等差数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です.

階差数列が等比数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.

$2$ 回階差をとるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $$2,12,36,80,130,252,392,\cdots$$

→solution

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします.その階差数列 $\{b_n\}$ は $$10,24,44,70,102,140,\cdots$$ ですが,これではまだ規則性が見えてきません.そこで,もう一度階差をとってみます.$\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ は, $$14,20,26,32,38,\cdots$$ です.これは,初項 $14$,公差 $6$ の等差数列です.したがって,$\{c_n\}$ の一般項は $c_n=6n+8$ です.ゆえに,$\{b_n\}$ の一般項は $n \ge 2$ のとき, $$b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} c_n=10+\sum_{k=1}^{n-1} (6k+8)=10+3n(n-1)+8(n-1)=3n^2+5n+2$$ です.$b_1=10$ なのでこれは $n=1$ のときも成立します.したがって,$b_n=3n^2+5n+2$ です.ゆえに,$\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} (3n^2+5n+2)=2+\frac{1}{2}n(n-1)(2n-1)+\frac{5}{2}n(n-1)+2(n-1)$$ $$=n^2(n+1)$$ です.$a_1=2$ なので,これは $n=1$ のときも成立します.よって,求める数列の一般項は, $$n^2(n+1)$$ となります.




$ から $n-1$ までです.

・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.

階差数列を使う例題

実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです.

階差数列が等差数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $3,7,13,21,31,43,57,\cdots$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $ $=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので YOKOHAMA ヨコハマ アドバン デシベル V551 dB サマータイヤ 235/45R18 ブリヂストン ECOFORM エコフォルム CRS12 ホイールセット 4本 18インチ 18 X 7.5 +42 5穴 114.3,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です.

階差数列が等比数列となるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $2,5,11,23,47,95,191 18インチアコードCL系WORK エモーション T7R マットカーボン 7.5Jx18ヨコハマ エコス ES300 215/40R18,\cdots$

→solution

階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $ $=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.

$2$ 回階差をとるパターン

 次の数列の一般項を求めよ. $2,12,36,80,130,252,392,\cdots$

→solution

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします.その階差数列 $\{b_n\}$ は $10,24,44,70,102,140,\cdots$ ですが,これではまだ規則性が見えてきません.そこで 送料無料235/55R19トーヨー(TOYO) Winter TRAMPTH TX2017年製新品 スタッドレスタイヤ ホイール4本セットシュタイナー SF-V19インチ 8.0J 5H114.3エメラルドブラックポリッシュ,もう一度階差をとってみます.$\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ は, $14,20,26,32,38,\cdots$ です.これは,初項 $14$,公差 $6$ の等差数列です.したがって,$\{c_n\}$ の一般項は $c_n=6n+8$ です.ゆえに,$\{b_n\}$ の一般項は $n \ge 2$ のとき, $b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} c_n=10+\sum_{k=1}^{n-1} (6k+8)=10+3n(n-1)+8(n-1)=3n^2+5n+2$ です.$b_1=10$ なのでこれは $n=1$ のときも成立します.したがって,$b_n=3n^2+5n+2$ です.ゆえに,$\{a_n\}$ の一般項は,

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フロント(右)1本
フロント(左)1本
リア(右)1本
リア(左)1本

商品詳細

ダウンサスの為のショックアブソーバーです!(1台分)


KYB(カヤバ) Lowfer Sports








メーカー:トヨタ自動車
車名:カローラ フィールダー
グレード:1.5G、1.5X
型式:NZE161G
年式:2012/05~
フロント品番(R):WST5481R
フロント品番(L):WST5481L
リア品番(R):WSF1149
リア品番(L):WSF1149
駆動:FF
※こちらの商品にはスプリングは付属致しません。
※単品ご希望の場合は、メール・FAXで別途お問い合わせ下さい。


■商品在庫につきまして
通常在庫がある場合は2~3日営業日以内に発送致します。
(土曜、日曜日、祝日、大型連休時は業務休日の為、発送までに日数がかかりますのでご了承願います。)
メーカー在庫が欠品の場合は納期は約1週間~2ヶ月ほどお待ちいただく場合がございますが、ご了承下さい。

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お急ぎの場合は予めお電話・FAX・メールにてお問い合わせ下さいますようお願い致します。
送料

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備考
■雑誌・ホームページやその他サイト等でも販売しておりますので在庫・納期状況は日々変わっておりますのでお急ぎの場合トラブル防止のため、できるだけ事前に在庫状況をお問い合わせください。
■当商品は純正品ではございませんので、純正品とは若干の違いや、クオリティの差がございます。予めご了承ください。
■中身違い・運送中破損等に関しては、商品到着後3日以内にご連絡ください。(できるだけ迅速な商品確認・検品をお願いします)
■御注文後のキャンセル、購入後の返品・クレームは受け付けておりません。ご不明な点・ご質問等は必ずご注文前にお問い合わせ下さいます様お願いします。
■商品の改良等により適合条件が変更になる場合もございます。御注文前に最新の適合データはメーカーページにてご確認下さい。
■予告なくメーカーにて商品生産終了となる場合もございます。

,$n \ge 2$ のとき, $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} (3n^2+5n+2)=2+\frac{1}{2}n(n-1)(2n-1)+\frac{5}{2}n(n-1)+2(n-1)$ $=n^2(n+1)$ です.$a_1=2$ なので,これは $n=1$ のときも成立します.よって,求める数列の一般項は,

KYB(カヤバ) Lowfer Sports 1台分 カローラ フィールダー(NZE161G) 1.5G、1.5X WST5481R/L-WSF1149 / ローファースポーツ

, $n^2(n+1)$ となります.




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